原文
○商功（以御功程積實(shí)） 今有穿地，積一萬尺。問為堅(jiān)、壤各幾何？答曰：為堅(jiān)七千五百尺；為壤一 萬二千五百尺。
術(shù)曰：穿地四為壤五， 〔壤謂息土?！?為堅(jiān)三， 〔堅(jiān)謂筑土。〕 為墟四。
〔墟謂穿坑。此皆其常率?！?以穿地求壤，五之；求堅(jiān)，三之；皆四而一。
〔今有術(shù)也?！?以壤求穿，四之；求堅(jiān)，三之；皆五而一。以堅(jiān)求穿，四之；求壤，五之； 皆三而一。
〔淳風(fēng)等按：此術(shù)并今有之義也。重張穿地積一萬尺，為所有數(shù)，堅(jiān)率三、 壤率五各為所求率，穿率四為所有率，而今有之，即得?！?城、垣、堤、溝、塹、渠皆同術(shù)。
術(shù)曰：并上下廣而半之， 〔損廣補(bǔ)狹?！?以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。
〔按：此術(shù)“并上下廣而半之”者，以盈補(bǔ)虛，得中平之廣。“以高若深乘 之”，得一頭之立冪?！坝忠再蟪酥闭?，得立實(shí)之積，故為積尺。〕 今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上廣六尺，為垣積五百七十六尺。問穿地 下廣幾何？答曰：三尺五分尺之三。
術(shù)曰：置垣積尺，四之為實(shí)。
〔穿地四，為堅(jiān)三。垣，堅(jiān)也。以堅(jiān)求穿地，當(dāng)四之，三而一也。〕 以深、袤相乘， 〔為深、袤之立實(shí)也?！?又三之，為法。
〔以深、袤乘之立實(shí)除垣積，即坑廣。又三之者，與堅(jiān)率并除之?！?所得，倍之。
〔為坑有兩廣，先并而半之，即為廣狹之中平。今先得其中平，故又倍之知， 兩廣全也?！?減上廣，余即下廣。
〔按：此術(shù)穿地四，為堅(jiān)三。垣即堅(jiān)也。今以堅(jiān)求穿地，當(dāng)四乘之，三而一。
深、袤相乘者，為深袤立冪。以深袤立冪除積，即坑廣。又三之，為法，與堅(jiān)率 并除。所得，倍之者，為坑有兩廣，先并而半之，為中平之廣。今此得中平之廣， 故倍之還為兩廣并。故減上廣，余即下廣也。〕 今有城下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。問積幾何？答 曰：一百八十九萬七千五百尺： 今有垣下廣三尺，上廣二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。問積幾何？ 答曰：六千七百七十四尺。
今有堤下廣二丈，上廣八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。問積幾何？答曰： 七千一百一十二尺。
冬程人功四百四十四尺，問用徒幾何？答曰：一十六人二百一十一分人之二。
術(shù)曰：以積尺為實(shí)，程功尺數(shù)為法，實(shí)如法而一，即用徒人數(shù)。
今有溝，上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈。問積幾何？答曰：四 千三百七十五尺。
春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四。
問用徒幾何？答曰：七人三千六十四分人之四百二十七。
術(shù)曰：置本人功，去其五分之一，余為法。
〔“去其五分之一”者，謂以四乘，五除也?！?以溝積尺為實(shí)，實(shí)如法而一，得用徒人數(shù)。
〔按：此術(shù)“置本人功，去其五分之一”者，謂以四乘之，五而一，除去出 土之功，取其定功。乃通分內(nèi)子以為法。以分母乘溝積尺為實(shí)者，法里有分，實(shí) 里通之，故實(shí)如法而一，即用徒人數(shù)。此以一人之積尺除其眾尺，故用徒人數(shù)。
不盡者，等數(shù)約之而命分也?！?今有塹，上廣一丈六尺三寸，下廣一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。
問積幾何？答曰：一萬九百四十三尺八寸。
〔八寸者，謂穿地方尺，深八寸。此積余有方尺中二分四厘五毫，棄之。文 欲從易，非其常定也?！?夏程人功八百七十一尺，并出土功五分之一，沙礫水石之功作太半，定功二 百三十二尺一十五分尺之四。問用徒幾何？答曰：四十七人三千四百八十四分人 之四百九。
術(shù)曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙礫水石之功太半，余為法。
以塹積尺為實(shí)。實(shí)如法而一，即用徒人數(shù)。
〔按：此術(shù)“置本人功，去其出土功五分之一”者，謂以四乘，五除。“又 去沙礫水石作太半”者，一乘，三除，存其少半，取其定功。乃通分內(nèi)子以為法。
以分母乘塹積尺為實(shí)者，為法里有分，實(shí)里通之，故實(shí)如法而一，即用徒人數(shù)。
不盡者，等數(shù)約之而命分也?！?今有穿渠，上廣一丈八尺，下廣三尺六寸，深一丈八尺，袤五萬一千八百二 十四尺。問積幾何？答曰：一千七萬四千五百八十五尺六寸。
秋程人功三百尺，問用徒幾何？答曰：三萬三千五百八十二人，功內(nèi)少一十 四尺四寸。
一千人先到，問當(dāng)受袤幾何？答曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
術(shù)曰：以一人功尺數(shù)乘先到人數(shù)為實(shí)。
〔以一千人一日功為實(shí)。立實(shí)為功?！?并渠上下廣而半之，以深乘之，為法。
〔以渠廣深之立實(shí)為法?！?實(shí)如法得袤尺。
今有方堡壔， 〔堡者，堡城也；壔，音丁老反，又音纛，謂以土擁木也。〕 方一丈六尺，高一丈五尺。問積幾何？答曰：三千八百四十尺。
術(shù)曰：方自乘，以高乘之，即積尺。
今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺。問積幾何？答曰：二千一百一十二 尺。
〔于徽術(shù)，當(dāng)積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。
淳風(fēng)等按：依密率，積二千一十六尺?！?術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。
〔此章諸術(shù)亦以周三徑一為率，皆非也。于徽術(shù)當(dāng)以周自乘，以高乘之，又 以二十五乘之，三百一十四而一。此之圓冪亦如圓田之冪也。求冪亦如圓田，而 以高乘冪也。
淳風(fēng)等按：依密率，以七乘之，八十八而一?！?今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。問積幾何？答曰：一十萬一千六 百六十六尺太半尺。
術(shù)曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。
〔此章有塹堵、陽馬，皆合而成立方。蓋說算者乃立棋三品，以效高深之積。
假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺。其用棋也，中央立方一，四面塹堵四， 四角陽馬四。上下方相乘為三尺，以高乘之，得積三尺，是為得中央立方一，四 面塹堵各一。下方自乘為九，以高乘之，得積九尺。是為中央立方一、四面塹堵 各二、四角陽馬各三也。上方自乘，以高乘之，得積一尺，又為中央立方一。凡 三品棋皆一而為三，故三而一，得積尺。用棋之?dāng)?shù)：立方三、塹堵陽馬各十二， 凡二十七，棋十三。更差次之，而成方亭者三，驗(yàn)矣。為術(shù)又可令方差自乘，以 高乘之，三而一，即四陽馬也；上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面塹堵 也。并之，以為方亭積數(shù)也。〕 今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。問積幾何？答曰：五百二十七尺 九分尺之七。
〔于徽術(shù)，當(dāng)積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。
淳風(fēng)等按：依密率，為積五百三尺三十三分尺之二十六。〕 術(shù)曰：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。
〔此術(shù)周三徑一之義。合以三除上下周，各為上下徑。以相乘，又各自乘， 并，以高乘之，三而一，為方亭之積。假令三約上下周俱不盡，還通之，即各為 上下徑。令上下徑相乘，又各自乘，并，以高乘之，為三方亭之積分。此合分母 三相乘得九，為法，除之。又三而一，得方亭之積。從方亭求圓亭之積，亦猶方 冪中求圓冪。乃令圓率三乘之，方率四而一，得圓亭之積。前求方亭之積，乃以 三而一；今求圓亭之積，亦合三乘之。二母既同，故相準(zhǔn)折，惟以方冪四乘分母 九，得三十六，而連除之。于徽術(shù)，當(dāng)上下周相乘，又各自乘，并，以高乘之， 又二十五乘之，九百四十二而一。此方亭四角圓殺，比于方亭，二百分之一百五 十七。為術(shù)之意，先作方亭，三而一。則此據(jù)上下徑為之者，當(dāng)又以一百五十七 乘之，六百而一也。今據(jù)周為之，若于圓堡昪，又以二十五乘之，三百一十四而 一，則先得三圓亭矣。故以三百一十四為九百四十二而一，并除之。
淳風(fēng)等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一?！?今有方錐，下方二丈七尺，高二丈九尺。問積幾何？答曰：七千四十七尺。
術(shù)曰：下方自乘，以高乘之，三而一。
〔按：此術(shù)假令方錐下方二尺，高一尺，即四陽馬。如術(shù)為之，用十二陽馬 成三方錐。故三而一，得方錐也。〕 今有圓錐，下周三丈五尺，高五丈一尺。問積幾何？答曰：一千七百三十五 尺一十二分尺之五。
〔于徽術(shù)，當(dāng)積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。
淳風(fēng)等按：依密率，為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七?！?術(shù)曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。
〔按：此術(shù)圓錐下周以為方錐下方。方錐下方令自乘，以高乘之，令三而一， 得大方錐之積。大錐方之積合十二圓矣。今求一圓，復(fù)合十二除之，故令三乘十 二，得三十六，而連除。于徽術(shù)，當(dāng)下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九 百四十二而一。圓錐比于方錐亦二百分之一百五十七。令徑自乘者，亦當(dāng)以一百 五十七乘之，六百而一。其說如圓亭也。
淳風(fēng)等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一?！?今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。問積幾何？答曰：四 萬六千五百尺。
術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，二而一。
〔邪解立方，得兩塹堵。雖復(fù)橢方，亦為塹堵。故二而一。此則合所規(guī)棋。
推其物體，蓋為塹上疊也。其形如城，而無上廣，與所規(guī)棋形異而同實(shí)。未聞所 以名之為塹堵之說也?！?今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問積幾何？答曰：九十三尺少半尺。
術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，三而一。
〔按：此術(shù)陽馬之形，方錐一隅也。今謂四柱屋隅為陽馬。假令廣袤各一尺， 高一尺，相乘，得立方積一尺。邪解立方，得兩塹堵；邪解塹堵，其一為陽馬， 一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑成一陽馬，合三陽馬而 成一立方，故三而一。驗(yàn)之以棋，其形露矣。悉割陽馬，凡為六鱉臑。觀其割分， 則體勢(shì)互通，蓋易了也。其棋或修短、或廣狹、立方不等者，亦割分以為六鱉臑。
其形不悉相似。然見數(shù)同，積實(shí)均也。鱉臑殊形，陽馬異體。然陽馬異體，則不 純合。不純合，則難為之矣。何則？按：邪解方棋以為塹堵者，必當(dāng)以半為分； 邪解塹堵以為陽馬者，亦必當(dāng)以半為分，一從一橫耳。設(shè)以陽馬為分內(nèi)，鱉臑為 分外。棋雖或隨修短廣狹，猶有此分常率知，殊形異體，亦同也者，以此而已。
其使鱉臑廣、袤、高各二尺，用塹堵、鱉臑之棋各二，皆用赤棋。又使陽馬之廣、 袤、高各二尺，用立方之棋一，塹堵、陽馬之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑， 接為塹堵，廣、袤、高各二尺。于是中攽其廣、袤，又中分其高。令赤、黑塹堵 各自適當(dāng)一方，高一尺，方一尺，每二分鱉臑，則一陽馬也。其余兩端各積本體， 合成一方焉。是為別種而方者率居三，通其體而方者率居一。雖方隨棋改，而固 有常然之勢(shì)也。按：余數(shù)具而可知者有一、二分之別，則一、二之為率定矣。其 于理也豈虛矣。若為數(shù)而窮之，置余廣、袤、高之?dāng)?shù)，各半之，則四分之三又可 知也。半之彌少，其余彌細(xì)，至細(xì)曰微，微則無形。由是言之，安取余哉？數(shù)而 求窮之者，謂以情推，不用籌算。鱉臑之物，不同器用；陽馬之形，或隨修短廣 狹。然不有鱉臑，無以審陽馬之?dāng)?shù)，不有陽馬，無以知錐亭之?dāng)?shù)，功實(shí)之主也?！?今有鱉臑，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺。問積幾何？答曰： 二十三尺少半尺。
術(shù)曰：廣袤相乘，以高乘之，六而一。
〔按：此術(shù)臑者，臂節(jié)也。或曰：半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云。中破 陽馬，得兩鱉臑。鱉臑之見數(shù)即陽馬之半數(shù)。數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一，即得?！?今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺；末廣八尺，無深；袤七尺。問積 幾何？答曰：八十四尺。
術(shù)曰：并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一。
〔按：此術(shù)羨除，實(shí)隧道也。其所穿地，上平下邪，似兩鱉臑夾一塹堵，即 羨除之形。假令用此棋：上廣三尺，深一尺，下廣一尺；末廣一尺，無深；袤一 尺。下廣、末廣皆塹堵之廣。上廣者，兩鱉臑與一塹堵相連之廣也。以深、袤乘， 得積五尺。鱉臑居二，塹堵居三，其于本棋皆一為六，故六而一。合四陽馬以為 方錐。邪畫方錐之底，亦令為中方。就中方削而上合，全為中方錐之半。于是陽 馬之棋悉中解矣。中錐離而為四鱉臑焉。故外錐之半亦為四鱉臑。雖背正異形， 與常所謂鱉臑參不相似，實(shí)則同也。所云夾塹堵者，中錐之鱉臑也。凡塹堵上袤 短者，連陽馬也。下袤短者，與鱉臑連也。上、下兩袤相等知，亦與鱉臑連也。
并三廣，以高、袤乘，六而一，皆其積也。今此羨除之廣即塹堵之袤也。按： 此本是三廣不等，即與鱉臑連者。別而言之：中央塹堵廣六尺，高三尺，袤七尺。
末廣之兩旁，各一小鱉臑，皆與塹堵等。令小鱉臑居里，大鱉臑居表，則大鱉臑 皆出橢方錐：下廣二尺，袤六尺，高七尺。分取其半，則為袤三尺。以高、廣乘 之，三而一，即半錐之積也。邪解半錐得此兩大鱉臑。求其積，亦當(dāng)六而一，合 于常率矣。按：陽馬之棋兩邪，棋底方。當(dāng)其方也，不問旁角而割之，相半可知 也。推此上連無成不方，故方錐與陽馬同實(shí)。角而割之者，相半之勢(shì)。此大小鱉 臑可知更相表里，但體有背正也?！?今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈。問積幾何？答曰： 五千尺。
術(shù)曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。
〔推明義理者：舊說云：“凡積芻有上下廣曰童，甍，謂其屋蓋之苫也?！?是故甍之下廣、袤與童之上廣、袤等。正解方亭兩邊，合之即芻甍之形也。假令 下廣二尺，袤三尺；上袤一尺，無廣；高一尺。其用棋也，中央塹堵二，兩端陽 馬各二。倍下袤，上袤從之，為七尺。以下廣乘之，得冪十四尺。陽馬之冪各居 二，塹堵之冪各居三。以高乘之，得積十四尺。其于本棋也，皆一而為六。故六 而一，即得。亦可令上下袤差乘廣，以高乘之，三而一，即四陽馬也；下廣乘上 袤而半之，高乘之，即二塹堵；并之，以為甍積也。〕 芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術(shù)。
術(shù)曰：倍上袤，下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其廣乘之，并，以高 若深乘之，皆六而一。
〔按：此術(shù)假令芻童上廣一尺，袤二尺；下廣三尺，袤四尺；高一尺。其用 棋也，中央立方二，四面塹堵六，四角陽馬四。倍下袤為八，上袤從之，為十， 以高、廣乘之，得積三十尺。是為得中央立方各三，兩端塹堵各四，兩旁塹堵各 六，四角陽馬亦各六。復(fù)倍上袤，下袤從之，為八，以高、廣乘之，得積八尺。
是為得中央立方亦各三，兩端塹堵各二。并兩旁，三品棋皆一而為六。故六而一， 即得。為術(shù)又可令上下廣袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四陽馬；上下廣袤 互相乘，并，而半之，以高乘之，即四面六塹堵與二立方；并之，為芻童積。又 可令上下廣袤互相乘而半之，上下廣袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得 也。〕 其曲池者，并上中、外周而半之，以為上袤；亦并下中、外周而半之，以為 下袤。
〔此池環(huán)而不通匝，形如盤蛇，而曲之。亦云周者，謂如委谷依垣之周耳。
引而伸之，周為袤。求袤之意，環(huán)田也。〕 今有芻童，下廣二丈，袤三丈；上廣三丈，袤四丈；高三丈。問積幾何？答 曰：二萬六千五百尺。
今有曲池，上中周二丈，外周四丈，廣一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四 尺，廣五尺；深一丈。問積幾何？答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。
今有盤池，上廣六丈，袤八丈；下廣四丈，袤六丈，深二丈。問積幾何？答 曰：七萬六百六十六尺太半尺。
負(fù)土往來七十步，其二十步上下棚除，棚除二當(dāng)平道五；踟躕之間十加一； 載輸之間三十步，定一返一百四十步。土籠積一尺六寸。秋程人功行五十九里半。
問人到積尺及用徒各幾何？答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三 分人之六十二。
術(shù)曰：以一籠積尺乘程行步數(shù)，為實(shí)。往來上下棚除二當(dāng)平道五。
〔棚，閣；除，斜道；有上下之難，故使二當(dāng)五也?！?置定往來步數(shù)，十加一，及載輸之間三十步，以為法。除之，所得即一人所 到尺。以所到約積尺，即用徒人數(shù)。
〔按：此術(shù)棚，閣；除，斜道；有上下之難，故使二當(dāng)五。置定往來步數(shù)， 十加一，及載輸之間三十步，是為往來一返凡用一百四十步。于今有術(shù)為所有率， 籠積一尺六寸為所求率，程行五十九里半為所有數(shù)，而今有之，即所到尺數(shù)。以 所到約積尺，即用徒人數(shù)者，此一人之積除其眾積尺，故得用徒人數(shù)。為術(shù)又 可令往來一返所用之步約程行為返數(shù)，乘籠積為一人所到。以此術(shù)與今有術(shù)相 反覆，則乘除之或先后，意各有所在而同歸耳?！?今有冥谷，上廣二丈，袤七丈；下廣八尺，袤四丈；深六丈五尺。問積幾何？ 答曰：五萬二千尺。
載土往來二百步，載輸之間一里。程行五十八里；六人共車，車載三十四尺 七寸。問人到積尺及用徒各幾何？答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二 百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六。
術(shù)曰：以一車積尺乘程行步數(shù)，為實(shí)。置今往來步數(shù)，加載輸之間一里，以 車六人乘之，為法。除之，所得即一人所到尺。以所到約積尺，即用徒人數(shù)。
〔按：此術(shù)今有之義。以載輸及往來并得五百步，為所有率，車載三十四尺 七寸為所求率，程行五十八里，通之為步，為所有數(shù)，而今有之，所得即一車所 到。欲得人到者，當(dāng)以六人除之，即得。術(shù)有分，故亦更令乘法而并除者，亦用 以車尺數(shù)以為一人到土率，六人乘五百步為行率也。又亦可五百步為行率，令六 人約車積尺數(shù)為一人到土率，以負(fù)土術(shù)入之。入之者，亦可求返數(shù)也。要取其會(huì) 通而已。術(shù)恐有分，故令乘法而并除。以所到約積尺，即用徒人數(shù)者，以一人所 到積尺除其眾積，故得用徒人數(shù)也?！?今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。問積及為粟幾何？答曰：積八千尺。
〔于徽術(shù)，當(dāng)積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。
淳風(fēng)等按：依密率，為積七千六百三十六尺十一分尺之四。〕 為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。
〔于徽術(shù)，當(dāng)粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。
淳風(fēng)等按：依密率，為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八?！?今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。問積及為菽各幾何？答曰：積三百五十 尺。
〔依徽術(shù)，當(dāng)積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六。
淳風(fēng)等按：依密率，為積三百三十四尺十一分尺之一。〕 為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。
〔依徽術(shù)，當(dāng)菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛之七千七百七十一。
淳風(fēng)等按：依密率，為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。〕 今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問積及為米各幾何？答曰：積三十 五尺九分尺之五。
〔于徽術(shù)，當(dāng)積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。
淳風(fēng)等按：依密率，當(dāng)積三十三尺三十三分尺之三十一?！?為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。
〔于徽術(shù)，當(dāng)米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十。
淳風(fēng)等按：依密率，為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。〕 委粟術(shù)曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。
〔此猶圓錐也。于徽術(shù)，亦當(dāng)下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百 四十二而一也。〕 其依垣者， 〔居圓錐之半也。〕 十八而一。
〔于徽術(shù)，當(dāng)令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一。
依垣之周，半于全周。其自乘之冪居全周自乘之冪四分之一，故半全周之法以為 法也?！?其依垣內(nèi)角者， 〔角，隅也，居圓錐四分之一也?！?九而一。
〔于徽術(shù)，當(dāng)令此下周自乘，而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七 十一而一。依隅之周，半于依垣。其自乘之冪居依垣自乘之冪四分之一，當(dāng)半依 垣之法以為法。法不可半，故倍其實(shí)。又此術(shù)亦用周三徑一之率。假令以三除周， 得徑；若不盡，通分內(nèi)子，即為徑之積分。令自乘，以高乘之，為三方錐之積分。
母自相乘得九，為法，又當(dāng)三而一，得方錐之積。從方錐中求圓錐之積，亦猶方 冪求圓冪。乃當(dāng)三乘之，四而一，得圓錐之積。前求方錐積，乃以三而一；今求 圓錐之積，復(fù)合三乘之。二母既同，故相準(zhǔn)折。惟以四乘分母九，得三十六而連 除，圓錐之積。其圓錐之積與平地聚粟同，故三十六而一。
淳風(fēng)等按：依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百 三十二而一；依隅者，六十六而一也。〕 程粟一斛積二尺七寸； 〔二尺七寸者，謂方一尺，深二尺七寸，凡積二千七百寸?！?其米一斛積一尺六寸五分寸之一； 〔謂積一千六百二十寸?！?其菽、荅、麻、麥一斛皆二尺四寸十分寸之三。
〔謂積二千四百三十寸。此為以精粗為率，而不等其概也。粟率五，米率三， 故米一斛于粟一斛，五分之三；菽、荅、麻、麥亦如本率云。故謂此三量器為概， 而皆不合于今斛。當(dāng)今大司農(nóng)斛，圓徑一尺三寸五分五厘，正深一尺，于徽術(shù)， 為積一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三。王莽銅斛于今尺為深九寸 五分五厘，徑一尺三寸六分八厘七毫。以徽術(shù)計(jì)之，于今斛為容九斗七升四合有 奇。《周官·考工記》：朅氏為量，深一尺，內(nèi)方一尺而圓外，其實(shí)一釜。于徽 術(shù)，此圓積一千五百七十寸?！蹲笫蟼鳌吩唬骸褒R舊四量：豆、區(qū)、釜、鐘。四 升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十則鐘?！辩娏亩?。釜六斗四升，方一尺， 深一尺，其積一千寸。若此方積容六斗四升，則通外圓積成旁，容十斗四合一龠 五分龠之三也。以數(shù)相乘之，則斛之制：方一尺而圓其外，庣旁一厘七毫，冪一 百五十六寸四分寸之一，深一尺，積一千五百六十二寸半，容十斗。王莽銅斛與 《漢書·律歷志》所論斛同。〕 今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛。問高幾何？答曰：二丈。
術(shù)曰：置粟一萬斛積尺為實(shí)。廣、袤相乘為法。實(shí)如法而一，得高尺。
〔以廣袤之冪除積，故得高。按：此術(shù)本以廣袤相乘，以高乘之，得此積。
今還元，置此廣袤相乘為法，除之，故得高也?！?今有圓囷， 〔圓囷，廩也，亦云圓囤也。〕 高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛。問周幾何？答曰：五丈四尺。
〔于徽術(shù)，當(dāng)周五丈五尺二寸二十分寸之九。
淳風(fēng)等按：依密率，為周五丈五尺一百分尺之二十七?！?術(shù)曰：置米積尺， 〔此積猶圓堡昪之積?！?以十二乘之，令高而一。所得，開方除之，即周。
〔于徽術(shù)，當(dāng)置米積尺，以三百一十四乘之，為實(shí)。二十五乘囷高為法。所 得，開方除之，即周也。此亦據(jù)見冪以求周，失之于微少也。晉武庫中有漢時(shí)王 莽所作銅斛，其篆書字題斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圓其外，庣旁九厘五毫， 冪一百六十二寸；深一尺，積一千六百二十寸，容十斗。及斛底云：律嘉量斗， 方尺而圓其外，庣旁九厘五毫，冪一尺六寸二分。深一寸，積一百六十二寸，容 一斗。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有贊文，與今律歷志同， 亦魏晉所常用。今粗疏王莽銅斛文字、尺、寸、分?jǐn)?shù)，然不盡得升、合、勺之文 字。按：此術(shù)本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此積。今還元，置此積，以 十二乘之，令高而一，即復(fù)本周自乘之?dāng)?shù)。凡物自乘，開方除之，復(fù)其本數(shù)。故 開方除之，即得也。
淳風(fēng)等按：依密率，以八十八乘之，為實(shí)。七乘囷高為法。實(shí)如法而一。開 方除之，即周也。〕